Θεωρήματα σε ένωση διαστημάτων

από | 8Οκτ,2017 | 0 Σχόλια

Να βρεθεί η συνάρτηση f συνεχής στο \mathbb{R}, παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}-\{1\} με f '(x)(x-1)-f(x)=0 , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(2,\,2) και Β(0,\,-3)
Λάθος  λύση

Είναι
\bf{\large{f '(x)(x-1)-f(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{f '(x)(x-1)-f(x)(x-1)'}{(x-1)^2}=0\Leftrightarrow}}

    \[\left(\dfrac{f(x)}{x-1}\right)'=0\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{x-1}=c\Leftrightarrow\]

    \[f(x)=c(x-1),\;x\in{\RR}-\{1\}.\]

Είναι f(2)=2\Leftrightarrow c=2 και f(0)=-3\Leftrightarrow c=3, άτοπο. Που είναι το λάθος?

Η ΣΩΣΤΗ ΛΥΣΗ

Το λάθος βρίσκεται εκεί όπου εξισώνουμε την συνάρτηση με τη σταθερά c. Η παράγωγος ισούται με το 0 σε ένωση διαστημάτων (-\infty,1)\cup(1,+\infty) και όχι σε διάστημα, άρα δεν μπορούμε να γράψουμε \dfrac{f(x)}{x-1}=c. Εργαζόμαστε ως εξής: Η αρχική της f είναι: \begin{cases} \dfrac{f(x)}{x-1}=c_1, \;x\in(-\infty,1)\\ 0,\; x=1\\ \dfrac{f(x)}{x-1}=c_2,\;x\in(1,+\infty) \dfrac{}{} \end{cases} οπότε από f(2)=2 έχουμε c_1=2 και από f(0)=-3 ότι c_2=3. Άρα η συνάρτηση έχει τύπο:


\begin{cases}2(x-1),&x\leq 1\\3(x-1),& x>1\end{cases}