Θεωρήματα σε ένωση διαστημάτων

από Τάσσος Δήμου | 8Οκτ,2017 | 0 Σχόλια

Να βρεθεί η συνάρτηση $f$ συνεχής στο $\mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}-\{1\}$ με $f '(x)(x-1)-f(x)=0$ , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία $Α(2,\,2)$ και $Β(0,\,-3)$
Λάθος λύση

Είναι
$\bf{\large{f '(x)(x-1)-f(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{f '(x)(x-1)-f(x)(x-1)'}{(x-1)^2}=0\Leftrightarrow}}$

$\left(\dfrac{f(x)}{x-1}\right)'=0\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{x-1}=c\Leftrightarrow$

$f(x)=c(x-1),\;x\in{\RR}-\{1\}.$

Είναι $f(2)=2\Leftrightarrow c=2$ και $f(0)=-3\Leftrightarrow c=3$ , άτοπο. Που είναι το λάθος?

Η ΣΩΣΤΗ ΛΥΣΗ

Το λάθος βρίσκεται εκεί όπου εξισώνουμε την συνάρτηση με τη σταθερά $c$ . Η παράγωγος ισούται με το $0$ σε ένωση διαστημάτων $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$ και όχι σε διάστημα, άρα δεν μπορούμε να γράψουμε $\dfrac{f(x)}{x-1}=c$ . Εργαζόμαστε ως εξής: Η αρχική της $f$ είναι: $\begin{cases} \dfrac{f(x)}{x-1}=c_1, \;x\in(-\infty,1)\\ 0,\; x=1\\ \dfrac{f(x)}{x-1}=c_2,\;x\in(1,+\infty) \dfrac{}{} \end{cases}$ οπότε από $f(2)=2$ έχουμε $c_1=2$ και από $f(0)=-3$ ότι $c_2=3$ . Άρα η συνάρτηση έχει τύπο: