Εφαρμογή|ανισότητα

Η ανισότητα

    \[e^x\geq x+1,\,\gia\,x\in\mathbb{R}\]

να διδαχθεί σαν εφαρμογή 3 μετά την εφαρμογή 2 σελ. 148 του σχολικού βιβλίου.


Απόδειξη                                                                                                                                                                                                       Η ανισότητα της εφαρμογής 2 είναι η \ln{x}\leq x-1\;\;(1) και ισχύει \gia\,x>0

 Επειδή e^x>0\,\gia\,x\in\mathbb{R} θέτουμε στην (1), όπου x το e^x, οπότε έχουμε \ln{e^x}\leq e^x-1 επομένως x\leq e^x-1\ann e^x\geq x+1\;\;(2).  Στην (1) το “=” ισχύει μόνο για x=1, επομένως στη (2) το “=” ισχύει μόνο για x=0