Επίλυση προβλήματος

23 Ιούν , 2017

το πρόβλημα.

Υπάρχει ένας τριψήφιος ταχυδρομικός κωδικός. Εάν προσθέσουμε 7 στον αριθμό, ο νέος αριθμός είναι διαιρετός δια του 7. Εάν προσθέσουμε 8 στον αριθμό, ο νέος αριθμός είναι διαιρετός δια του 8. Εάν προσθέσουμε 9 στον αριθμό, ο νέος αριθμός είναι διαιρετός δια 9. Ποιος είναι ο ταχυδρομικός κωδικός;

σκέψεις για τη λύση

κατανόηση του προβλήματος

Χωρίς πολύ σκέψη, νόμιζα ότι κατανόησα το πρόβλημα. Αυτό που θα γίνει αντιληπτό αργότερα σ’ αυτή την κατάθεση είναι ότι κατανόησα τα επιφανειακά χαρακτηριστικά αυ-τού του προβλήματος. Αυτό που κατανόησα ήταν ότι αν ο αριθμός ήταν π.χ ο 613, εάν προσθέσω 7 θα γίνει 620 που θα ήταν διαιρετό δια 7, εάν προσθέσω 8 θα γίνει 621 διαι-ρετός δια 8 και αν προσθέσω 9 θα γίνει 622 διαιρετός δια 9. Στο παράδειγμά μας βέβαια δεν συμβαίνουν αυτά αλλά βοηθάει να περιγράψουμε πώς κατανόησα κατ’ αρχήν το πρόβλημα. Παρακάτω θα αναλύσω με λεπτομέρεια τα βήματα για την επίλυση του προ-βλήματος. Από την διαδικασία αυτή νομίζω θα πάρεις μια ιδέα γι αυτό που σήμερα ονο-μάζουμε επίλυση του προβλήματος.

Χρησιμοποιώντας τις βασικές μου γνώσεις στα μαθηματικά

Γρήγορα ανακαλώ τις γνώσεις μου στα μαθηματικά πάνω στο θέμα των κανόνων της διαιρετότητας. Εάν ένας αριθμός είναι διαιρετός δια 9, το άθροισμα των ψηφίων του εί-ναι διαιρετό δια 9. Εάν ένας αριθμός είναι διαιρετός δια 8, τα τελευταία τρία ψηφία του αποτελούν αριθμό διαιρετό δια 8. Δεν υπάρχει σχετικός κανόνας για το 7. Αυτή η γνώση μου όμως δεν προσέφερε άμεση βοήθεια γιατί έπρεπε να αναζητήσω όλα τα πολλα-πλάσια των 7 και 8.

Όμως με λίγη σκέψη περιόρισα το εύρος της αναζήτησης. Τούτο διότι αφού αναζητώ έναν τριψήφιο κωδικό μπορώ να θεωρήσω τους τριψήφιους αριθ-μούς από 100 έως 999. Μπορώ μάλιστα να περιορίσω ακόμα το εύρος της αναζήτησης αν από αυτούς τους τριψήφιους πάρω όσους είναι πολλαπλάσια του 9. Αρχίζω από το 108,117,126,…,999. Έχω δηλαδή να ψάξω μέσα σε (999-108)/9 +1 αριθμούς, με άλλα λόγια ανάμεσα σε 100 αριθμούς. Πρέπει να θεωρώ έναν-έναν αυτούς τους αριθμούς να αφαιρώ 1 και μετά 2 και να ελέγχω αν το αποτέλεσμα είναι διαιρετό δια 8 και 7 αντί-στοιχα. Μία μέθοδος αρκετά χρονοβόρα και πάντως όχι ελκυστική. Έτσι δεν επέλεξα αυτή την μέθοδο. Τότε ποιο είναι το επόμενο βήμα;

Tι θα λέγατε για μια τυχαία επιλογή;

Με ξεκούραστο μυαλό επέλεξα τυχαία 2 ή 3 αριθμούς διαιρετούς δια 9 και πειραμα-τίστηκα. Για παράδειγμα το 702. Αφαιρώ 1, 701, δεν είναι διαιρετό δια 8. Ας προσπα-θήσουμε με το 801. Αφαιρώ 1, 800, είναι διαιρετό δια 8. Αφαιρώ 2, 799, δεν είναι διαι-ρετό δια 7. Ποιο είναι το επόμενο βήμα;

σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω ένα παράδειγμα με μικρότερους αριθμούς

Επιλέγω το 28 που είναι διαιρετό δια 7. Αφαιρώ 7 και παίρνω 21. Ποιος είναι ο επόμε-νος αριθμός μετά το 28 που να διαιρείται με το 8;. Είναι ο 32 οπότε πρέπει να προσθέσω 11 στο 21 ώστε να πάρω 32. Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός μετά το 28 που να διαιρεί-ται με 9; Είναι ο 36 οπότε πρέπει να προσθέσω 15 στο 21 για να πάρω 36. Τα αποτελέ-σματα αυτής της έρευνας ήταν αρκετά περίεργα. Όταν διαιρέσω 28/7 , 32/8 και 36/9 παίρνω σαν πηλίκο το 4. Σημείωσα επίσης ένα σχέδιο για να παίρνω το 28, 32, 36 προ-σθέτοντας αριθμούς. Προσθέτω 7 στο 21, 11 στο 21, 15 στο 21. Σημειώστε την ακο-λουθία των αριθμών 7, 11, 15 που διαφέρουν κατά 4. Τι κάνουμε τώρα; Σαν ύστερη γνώση αποκόμισα ότι πρέπει να προσθέσω άλλους αριθμούς από τους διαδοχικούς 7, 8, 9 για να πάρω διαιρετούς αριθμούς. Ωστόσο κατευθύνθηκα προς τις αλγεβρικές σειρές.

Πίσω στις βασικές μου γνώσεις

<>Γνωρίζω ότι οι αλγεβρικές εξισώσεις 1ου βαθμού παράγουν σειρές αριθμών που δια-φέρουν πάντοτε κατά μία σταθερά. Για παράδειγμα, η $y=2\cdot x$ , παράγει 0, 2, 4, 6,… όταν χ=0, 1, 2, 3, …. Σημειώστε ότι οι διαφορές είναι πάντα 2, 6-4=4-2=2-0=2. Αντίστοιχα οι εξισώσεις 2ου βαθμού δίνουν δεύτερης τάξης διαφορές σταθερές. Για παράδειγμα η $y=2\cdot x^2$ παράγει 0, 2, 8, 18… οπότε 18-8=10, 8-2=6, 2-0=2 και τότε 10-6= 6-2=4. Έτσι αφού η διαφορά των 7, 11, 15 είναι σταθερά 4 σκέφτηκα ότι θα έπρεπε να ακολουθήσω μια αλγεβρική προσέγγιση.

Η αλγεβρική προσέγγιση

“Έπαιξα” με μερικές απλές εξισώσεις

$\dfrac{x+7}{7}=7n$ , $\dfrac{x+8}{8}=8n$ , $\dfrac{x+9}{9}=9n$

Στο παράδειγμά μου με τους 28, 32, 36 είναι εύκολο να δεις ότι n=4 χρησιμοποιώντας τις παραπάνω εξισώσεις. Συνοψίζοντας τα επόμενα βήματα χωρίς ίσως να μπορώ πάντοτε να κάνω ξεκάθαρες κάποιες σκέψεις μου κατέληξα στα εξής.

Αποφάσισα να εκφράσω τις παραπάνω εξισώσεις μέσω του 7.

$\dfrac{x+7}{7}=7n,\quad\dfrac{x+8}{7}=7n+1,\quad \dfrac{x+9}{7}=7n+2$

Απάλειψα τους παρονομαστές με το 7 οπότε προέκυψε:

$x+7=49n,\;\; x+8= 49n+7,\;\; x+9=49n+14$ και προσθέτοντας τις τρεις εξισώσεις επέ-τυχα την $3x+24 = 147n +21$ η οποία απλοποιούμενη με 3 δίνει $x+8= 49n+7$ ή $x=49n-1$

Τώρα επειδή ο άγνωστός μας είναι ένας τριψήφιος αριθμός θεωρούμε τις τιμές του n που βρίσκονται μεταξύ του 3 και του 20.

n 49n-1=x x+9

3 146 155

4 195 204

5 244 253

6 293 302

7 342 351

8 391 400

9 440 449

10 489 498

11 538 547

12 587 596

13 636 645

14 685 694

15 734 743

16 783 792

17 832 841

18 881 890

19 930 939

20 979 988

Οι μόνοι αριθμοί διαιρετοί δια 9 είναι οι 351 και 792. Ωστόσο όταν αφαιρέσουμε το 1 και 2 δεν προκύπτουν αριθμοί διαιρετοί δια 8 ή 7. Ποιο είναι τώρα το επόμενο βήμα;

πώς έφτασα σε μία λύση

Η αλήθεια είναι πως αισθάνθηκα λίγο απελπισμένος μετά την αποτυχία της αλγεβρικής προσέγγισης. Αισθανόμουν ότι είχα αφιερώσει υπερβολικό χρόνο σ’ αυτό το πρόβλημα και το αποτέλεσμα ήταν ένα τίποτα. Το άφησα για μερικές ώρες. Όταν το ξανασκέφτηκα διαπίστωσα ότι ο τριψήφιος αριθμός έπρεπε να έχει ως παράγοντες τους 7, 8 και 9. Ο αριθμός έπρεπε να είναι ο $7\cdot 8\cdot 9=504$ . Αν προσθέσουμε 7, 8, 9 θα έχουμε αντίστοιχα του 511, 512, 513 που διαιρούνται με τους 7,8,9 .

μία εναλλακτική αλγεβρική προσέγγιση

Αυτή η προσέγγιση είναι πιο απλή από την αρχική. Εάν απλοποιήσουμε τις τρεις εξι-σώσεις πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με τον αντίστοιχο παρονομαστή θα έχουμε: $x+7=49n,\;\; x+8=64n,\;\; x+9=81n$ . Έχουμε λοιπόν τρεις γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους. Προσθέτω τις εξισώσεις και προκύπτει $3x+24=194n$ ή $x=64n-8$ .

Έχουμε δύο αγνώστους μόνο που ο n μπορεί να πάρει μόνο τιμές 15 ( $64\cdot15-8=962$ )

Αναζητούμε την λύση μας στις τιμές του n= 2,3,4,…,15. Ο n πρέπει να είναι διαιρετός δια 3 οπότε οι επιλογές μου είναι οι 3,6,9,12 και οι αντίστοιχες τιμές είναι 186,380,574,768 και 962. Καμιά όμως δεν είναι διαιρετή δια 9. Η αλγεβρική μέθοδος πάλι απέτυχε;

ξανακοίταγμα ενός βήματος που διευκρινίζει ένα άλυτο φαινόμενο

Οι εξισώσεις μου είναι αλγεβρικά σωστές αλλά δεν οδηγούν σε μια λύση. Επανέρ-χομαι στους αριθμούς 28,32 και 36. Εδώ το n είναι πάντοτε 4, δηλ. 47 , $4\cdot 8$ , $4\cdot 9$ .

Γιατί δεν μπορώ να βρω την αντίστοιχη «ειδική» τιμή του n για τον 504; Η απάντηση βρίσκεται στο γεγονός ότι δεν υπάρχει μοναδική τιμή του n όταν προσθέτουμε τους συ-νεχόμενους αριθμούς 7, 8, 9 στο 504. Πράγματι

$504+7=\dfrac{511}{7}=73=n$

$504+8=\dfrac{512}{8}=64=n$

$504+9=\dfrac{513}{9}=57=n$

Έτσι n = 73, 64, 57 όταν οι διαιρέτες είναι αντίστοιχα 7,8,9. Εκεί οφείλεται γιατί η μέθο-δός μου δεν «δουλεύει». Η μέθοδος σιωπηλά θεώρησε ότι υπάρχει μοναδική τιμή του n πράγμα που είναι λάθος.

Συμπεράσματα

η διαδικασία της επίλυσης του προβλήματος.

1. Το να έχεις μια καταγραφή μαθηματικών εμπειριών και πληροφοριών είναι μία α-ναγκαία συνθήκη να πειραματιστείς και να φτάσεις σε μία λύση.

2. Η θεώρηση μέσα από βαθιά σκέψη είναι επίσης μία αναγκαία συνθήκη για επιτυχη-μένη ανακάλυψη.

3. Παίρνοντας ένα λάθος δρόμο μπορεί να οδηγηθεί κανείς σε μία λύση.

4. Ο έλεγχος για τυχόν λάθη καθώς το ξανακοίταγμα βοηθάει στην επανεπεξεργασία των στρατηγικών μας.

5. Η ταυτόχρονη προώθηση των πληροφοριών είναι ένας σημαντικός παράγοντας της επιλυτικής διαδικασίας. Η ικανότητα να κρατάει κάποιος σε ετοιμότητα όλες τις νοη-τικές λειτουργίες για την συγκομιδή όλων των σχετικών πληροφοριών είναι απαραί-τητη για την διαμόρφωση της στρατηγικής του.

6. Η διαδοχική διαδικασία είναι επίσης σημαντική. Η ικανότητα να ακολουθείς μια δια-δικασία ή στρατηγική σε λογικά και αλγεβρικά πλήρη βήματα.

7. Ξαναγυρίζοντας πίσω και επανεξετάζοντας βασικές πληροφορίες ή αναθεωρώντας ισχυρισμούς είναι επίσης ένα σημαντικό σκέλος της διαδικασίας επίλυσης ενός προ-βλήματος.

8. Ξαναγυρίζοντας πίσω και επανεξετάζοντας βασικές πληροφορίες ή αναθεωρώντας ισχυρισμούς περισσότερες από μία φορές είναι επίσης ένα σημαντικό σκέλος της δια-δικασίας επίλυσης ενός προβλήματος.

9. Περισσότερος χρόνος ξοδεύεται στην αρχή της διαδικασίας της επίλυσης του προ-βλήματος για την κατανόηση της ουσίας του απ’ όσον απαιτείται για την χάραξη της στρατηγικής του.

10. Αφήνοντας ένα πρόβλημα για να το «ξαναπιάσεις» αργότερα είναι μια καλή ιδέα όταν βλέπεις ότι δεν προχωράς.

Η μεταγνωστική διαδικασία

1. Μπορεί κάποιος να βρει εναλλακτικούς δρόμους ή στρατηγικές που δεν τις θεώρησε στην αρχική φάση.

2. Αναπάντητες ερωτήσεις ή αδιευκρίνιστα σημεία μπορεί να ξεκαθαρίσουν στην πο-ρεία.

3. Επιτυχημένες στρατηγικές πρέπει να απομονώνονται, να σημειώνονται για να χρησιμοποιηθούν στο μέλλον.

4. Δεν μπορείς να εξηγείς πάντα με καθαρότητα τα διάφορα βήματα μιας επιλυτικής δια-δικασίας. Μερικά βήματα φαίνεται ότι επιλέγονται «λαθραία».